문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 오일러 방정식 (문단 편집) === 유도 2 === [[파일:오일러_방정식_유도_미소_부피.png|width=300|height=300]] 길이, 너비, 높이가 각각 [math(\text{d}x,\text{d}y,\text{d}z)]인 유체의 미소부피를 고려해보자. 점성과 외력이 없다면 이 미소부피가 가속하는 이유는 각 면들에 가해지는 압력들의 차이 때문이다. 예를들어, [math(x)]방향으로 작용하는 압력 차이는 [math(\displaystyle \frac{\partial P}{\partial x} \text{d}x)]이다. 힘 = 압력 x 면적이므로 이 압력 차이 때문에 나타나는 힘은 [math(\displaystyle \frac{\partial P}{\partial x} \text{d}x\text{d}y\text{d}z=\frac{\partial P}{\partial x} \text{d}V)]이다. 이게 양수라면 이 미소부피는 음의 [math(x)]방향으로 가속하므로 [math(\displaystyle \text{d}F_x = -\frac{\partial P}{\partial x} \text{d}V)]가 성립한다. ||\displaystyle \text{d} \textbf{F} = -\nabla P \, \text{d}V|| 이제 뉴턴의 제 2법칙을 적용하자. [math(\displaystyle \textbf{F} =m \textbf{a} \Rightarrow -\nabla P \, \text{d}V=\text{d}m \, \textbf{a}=\rho \, \text{d}V \textbf{a} \Rightarrow -\nabla P=\rho \, \textbf{a}\Rightarrow -\nabla P=\rho \, \frac{\text{D} \textbf{u}}{\text{D}t})]. 여기서 [math(\displaystyle \frac{\text{D} \textbf{u}}{\text{D}t})]는 "material derivative" 또는 "total derivative"라고 하는 항이다. 단, [math(\displaystyle \textbf{u})]는 유체의 속도를 나타내는, [math(\displaystyle x,y,z,t)]의 벡터함수이다. [math(\displaystyle \frac{\text{D} \textbf{u}}{\text{D}t}=\frac{\partial \textbf{u}}{\partial t}+\frac{\partial \textbf{u}}{\partial x} \, \frac{\text{d}x}{\text{d}t}+\frac{\partial \textbf{u}}{\partial y} \, \frac{\text{d}y}{\text{d}t}+\frac{\partial \textbf{u}}{\partial z} \, \frac{\text{d}z}{\text{d}t}=\frac{\partial \textbf{u}}{\partial t}+\Bigg(\frac{\partial}{\partial x} \, u_x+\frac{\partial}{\partial y} \, u_y+\frac{\partial}{\partial z} \, u_z\Bigg)\textbf{u}=\frac{\partial \textbf{u}}{\partial t}+(\textbf{u}\cdot \nabla)\textbf{u})] 이제 양쪽을 [math(\displaystyle \rho)]로 나누고 중력 같은 외력에 의한 가속도 [math(\displaystyle \textbf{g})]를 더해주면 된다. [math(\displaystyle \frac{\nabla P}{\rho}=\nabla w)]를 사용하면 익숙한 오일러 방정식 완성. ||\displaystyle \frac{\partial \textbf{u}}{\partial t}+(\textbf{u}\cdot \nabla)\textbf{u}=-\nabla w+\textbf{g}|| 보너스로, 점성을 고려하고 싶다면 우항에 [math(\nu \nabla^2 \textbf{u})]를 더해줘야 한다. [math(\nabla^2)]은 [[델(연산자)#s-3.4|라플라시안 연산자]]며, [math(\nu)]는 뉴턴의 점성법칙에 나오는 점성상수[* 점성이 일정한 유체를 '뉴턴 유체'라고 부른다. 비뉴턴 유체에는 이 형태의 나비에 스톡스 방정식이 안 먹힌다.]. 점성으로 인한 가속도가 왜 [math(\nu \nabla^2 \textbf{u})]일까? 라플라시안 항목에서도 서술되어 있듯이, 여기서 [math(\nabla^2 \textbf{u})]의 물리적 의미는 어떤 미소부피의 속도와 이 미소부피 근방의 평균적인 유체 속도의 차이다. 이 속도 차이가 클수록 이 미소부피는 점성에 의해 받는 힘이 늘어나며, 이 미소부피의 속도가 주위 유체들로 (또는 주위 유체의 속도가 미소부피로) '전달'된다[* 뜨거운 곳에서 차가운 곳으로 흐르는 열 전달과 매우 비슷하다. 사실 [[열#s-6|열 방정식]]도 라플라시안으로 서술된다. 여기선 이 점성항을 직관적이게 설명했는데, 좀 더 수학적으로 엄밀하게 구하려면 [[텐서]] 개념이 필요하다.]. 이렇게 [math(\nu \nabla^2 \textbf{u})]를 우변에 더해주고 좌변으로 옮기면 나오는게 그 유명한 (비압축성) [[나비에-스토크스 방정식]]. 더 자세한 정보는 나비에-스토크스 방정식 문서에. ||\displaystyle \frac{\partial \textbf{u}}{\partial t}+(\textbf{u}\cdot \nabla)\textbf{u}-\nu \nabla^2 \textbf{u}=-\nabla w+\textbf{g}||저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기